הוכחת אי קיומה של הוכחה לקיומו או אי קיומו של אלוהים

ביקשתי יפה מכולם להיות אורחים בבלוג. אלי דיין הגיב ראשון וניתנת לי הזכות לארח אותו. מי שיודע לכתוב ורוצה להיות אורח בבלוג, מוזמן ליצור איתי קשר.

הקדמה

אני לא רוצה שהמאמר הזה יהפך למקור ויכוחים, והמאמר הזה לא מתיימר להוכיח או להפריך את קיומו של אלוהים, אלא רק להסביר למה זה בלתי אפשרי להוכיח באמצעות היגיון אנושי את קיומו של אלוהים, וכך גם בלתי אפשרי להפריך.

הדעה האישית היחידה שאני ארשה לעצמי להכניס כאן, היא שלאור המאמר הזה אסור לשפוט בני אדם לפי האמונה או חוסר האמונה שלהם, צריך לכבד כל אחד ואחת, לתת לכל אחד לחיות לפי אמונתו, ולהבין שזה יהיה בלתי אפשרי להוכיח את צדקת הדרך שלכם.

המאמר הזה הוא בגדר של מאמר פילוסופי (על גבול המתמטי), ולא תאולוגי. במאמר אני אסביר את פרדוקס ראסל בתורת הקבוצות המתמטית, כיצד הוא נובע מאקסיומות הגיוניות לחלוטין, ואז אסיק מדוע אי אפשר להוכיח או להפריך את קיום האל. המאמר מכיל קצת מתמטיקה, אבל ניסיתי להסביר את הכל מהבסיס, בצורה הפשוטה ביותר, וגם מי שלא יודע מתמטיקה יוכל לקרוא את המאמר ולהבין (גם אם לא בקריאה הראשונה… 🙂 ).

הגדרות בסיסיות

בתורת הקבוצות המתמטית, מדובר על שני עצמים משמעותיים: קבוצה ואיבר, כאשר קבוצה היא אוסף של איברים, ואיבר הוא דבר כלשהו (לא משנה מה).

נשים לב לכך, שקיימת הקבוצה הריקה (כלומר קבוצה שלא מכילה אף איבר), וניתן להגדיר קבוצות של כל דבר, למשל קבוצה שתכיל את 1, 2, 3, ופיל (למה פיל? ככה, כי אפשר לשים בקבוצה מה שאנחנו רוצים, כל דבר נחשב איבר). בשפה המתימטית נוהגים לסמן קבוצה באות אנגלית גדולה או בתוך סוגריים מסולסלות, למשל הקבוצה הקודמת: A = {אחד, שתיים, שלוש, פיל}.

יחסים בין קבוצות ואיברים

בדוגמה לעיל, אפשר לומר ש-1 שייך לקבוצה הנתונה A, כלומר המספר 1 הוא איבר של הקבוצה A.

כמו כן, אפשר לדבר גם על תת קבוצות: למשל, הקבוצה שמכילה רק את 1, 2, 3 היא תת קבוצה של קבוצה A, ואומרים לפעמים שהיא "מוכלת" בקבוצה A, או שהקבוצה A מכילה את הקבוצה השנייה.

קבוצות בתור איברים

בהגדרה הבסיסית, לא הגדרנו מהו איבר, ואמרנו שהוא יכול להיות כל דבר. לכן, איבר יכול להיות גם קבוצה בפני עצמו. למשל, אפשר להגדיר קבוצה שאיבריה הם 1, 2, 100 והקבוצה הריקה. או בסימונים: {1, 2, 100, {} }. אין כאן שום בעיה עם זה, ובאופן הזה אפשר להגדיר כל מיני עצמים מורכבים.

בשנת 1901, הפילוסוף והלוגיקן ברטראנד ראסל שאל את עצמו האם ייתכן שקבוצה תהייה איבר בתוך עצמה. ואכן, מהאקסיומות הבסיסיות שהגדרנו, אין מניעה לכך שקבוצה תהייה שייכת לעצמה.

פרדוקס ראסל

כעת, ראסל רצה לחקור את הקבוצות ששייכות לעצמן כאיבר. הוא קרא לקבוצות שמכילות את עצמן "קבוצות גדולות" וקבוצות שאינן מכילות את עצמן "קבוצות קטנות". אזי בהכרח כל קבוצה היא או גדולה או קטנה (בדיוק אחד מביניהם – כלומר לא ייתכן שקבוצה היא לא גדולה ולא קטנה, ולא ייתכן שקבוצה היא גם גדולה וגם קטנה, כי או שהיא כן איבר של עצמה או שהיא לא איבר של עצמה, זוהי תכונה דטרמיניסטית).

לשם כך, נגדיר:

X – קבוצת הקבוצות הגדולות (אלו ששייכות לעצמן). למשל: הקבוצה הגדולה A מכילה את המספרים 1, 2, 24, ואת הקבוצה A.

Y – קבוצת הקבוצות  הקטנות (שאינן שייכות לעצמן). למשל: הקבוצה הקטנה B מכילה את האותיות כ, ע, ח (אבל לא את הקבוצה B).

כעת נשאלת השאלה הבאה: האם קבוצת הקבוצות הקטנות (הקבוצה שאיבריה הן כל הקבוצות הקטנות) היא קבוצה גדולה או קטנה? כאן מתקבלת הסתירה:

אם קבוצת הקבוצות הקטנות שייכת לעצמה, אזי היא קבוצה גדולה, ולכן היא שייכת לקבוצת הקבוצות הגדולות, ולכן היא לא שייכת לקבוצת הקבוצות הקטנות, כלומר היא לא שייכת לעצמה. קיבלנו סתירה: הנחנו ש-Y שייכת לעצמה, וקיבלנו שהיא לא שייכת לעצמה.

אם קבוצת הקבוצות הקטנות לא שייכת לעצמה, אזי היא קבוצה קטנה, ולכן היא שייכת לקבוצת הקבוצות הקטנות, כלומר היא שייכת לעצמה. שוב קיבלנו סתירה: הנחנו ש-Y לא שייכת לעצמה, וקיבלנו שהיא כן שייכת לעצמה.

בכל מקרה, קיבלנו כאן סתירה!

ניתוח הפרדוקס

נשים לב לכך שפעלנו אך ורק מתוך האקסיומות שהגדרנו לעצמנו, והגענו לסתירה. המשמעות של זה היא שמערכת האקסיומות שהגדרנו ושנראות לנו הגיוניות (כי מה יכול להיות יותר ברור מזה שעצם כלשהו יכול להיות איבר של קבוצה או לא להיות איבר של אותה קבוצה, אבל לא להיות-וגם-לא-להיות איבר באותו הזמן), ובכל זאת מסתבר שהאינטואיציה שלנו לא מספיק חזקה בשביל שהיא גם תהיה הגיונית.

במתמטיקה המודרנית, עוקפים את הבעיה באמצעות כך שמניחים שקבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה. אין שום סיבה הגיונית שנניח כך, ולראיה מניחים כך רק כדי לעקוף את פרדוקס ראסל, ולא משום שזה הגיוני. ועדיין, ייתכנו סתירות בין האקסיומות השונות, שעדיין לא התגלו. משפט האי-שלמות של גדל גם טוען שאי אפשר להוכיח שמערכת של אקסיומות לא מובילות לסתירה, ולכן אי אפשר לדעת אם מערכת האקסיומות הנהוגה במתמטיקה המודרנית היא אכן מספיק חזקה.

סיכום

הפתרון שהמתמטיקאים בחרו הוא פשוט להתעלם מהבעיה על ידי הנחה שהיא לא קיימת, במקום לחשוב מה המשמעות של קיום הפרדוקס. במתמטיקה חשוב שכל דבר יהיה נכון או לא נכון, ובדיוק אחד מהם. בפרדוקס הנחנו שדברים מסוימים הם נכונים, ובצעדים לוגיים נכונים הגענו לטעות (או לפחות מה שנראה לנו כטעות). אולי אפשר לחשוב שזו לא טעות, אלא סוג אחר של אמת. כלומר, סוג של "חצי אמת".

למען האמת, זה אפילו יותר מתאים למציאות שבה אנו חיים, שאין שחור ולבן, אלא יש גוונים של אפור באמצע. למשל, הסיפור הבא מתאר מצב שבו אין שחור או לבן: בן אדם נהג בזמן שהוא בגילופין, הגיע לצומת שמגיעה לו בו זכות קדימה, אבל נהג אחר (שאינו שיכור) התפרץ ולא נתן לו זכות קדימה. הנהג השיכור הגיב באיטיות להתפרצות לצומת, וכתוצאה מכך אירעה תאונה בין שני הנהגים. כעת נשאלת השאלה: מי אשם בתאונה? כמובן שהתשובה היא אחד מבין הנהג השיכור והנהג המתפרץ. הנהג השיכור אשם כי הוא נהג בגילופין, ואילו הנהג המתפרץ אשם כי לא נתן זכות קדימה. לכן, האשמה לתאונה מוטלת על שני הנהגים ולא על אחד מהם באופן חד משמעי, שכן לכל אחד מהם היה חלק בתאונה. אם הנהג הראשון לא היה שיכור, אולי היה מגיב בזמן ומונע את התאונה, ואם הנהג השני לא היה מתפרץ לכביש, אולי הנהג השיכור היה מגיע לביתו בשלום.

אבל לדעתי המשמעות של פרדוקס ראסל הרבה יותר חזקה מזה: אולי האינטואיציה של בני האדם לא מספיק חזקה בשביל להכריע בבעיות של אמת ושקר, או שאין בעיות של אמת ושקר. את המסקנה הזאת אפשר להכליל לשאלת קיומו של אלוהים: אולי קיומו של אלוהים לא מוגדר כאמת או כשקר, אלא בצורה אחרת, ובוודאי שבני האדם לבדם לא יוכלו להכריע בסוגיה זו.

כאן אני כבר אכניס את דעתי האישית, ואגיד שפשוט צריך לתת לכל אחד לחיות כמו שהוא רוצה, לא לכפות את הדת על אף אחד, וגם להפך (ואפילו יותר חשוב), לא לכפות את האתאיזם על אף אחד. לכל אחד הזכות לחיות כמו שהוא מוצא לנכון, וכך יהיה, אין סיבה לריב בגלל נושאים שכאלה, וצריך לגלות התחשבות באחרים.

אלי דיין הוא סטודנט מצטיין למתימטיקה ומדעי המחשב באוניברסיטת ת"א, ופעיל קוד פתוח בקהילת אובונטו ישראל.